Problem SFS (shape from shading): dane jest zdjęcie nieznanej powierzchni - należy wyznaczyć równanie powierzchni, której zdjęcie jest identyczne z danym. Do modelowania tego problemu można użyć ... więcej

Problem SFS (shape from shading): dane jest zdjęcie nieznanej powierzchni - należy wyznaczyć równanie powierzchni, której zdjęcie jest identyczne z danym. Do modelowania tego problemu można użyć różnych narzędzi matematycznych. W pracy analizowano przydatność dwóch z nich: rozmyte równania różniczkowe i rozwiązania lepkościowe równań różniczkowych cząstkowych. Jak wynika z badań bardziej zaawansowana matematycznie (a w konsekwencji bardziej praktyczna), jest teoria rozwiązań lepkościowych. W prostym modelu rzutu ortograficznego dla powierzchni Lamberta badane równanie jest równaniem ikony (ikonal equation), dla którego mamy twierdzenie o istnieniu, jednoznaczności i stabilności rozwiązania lepkościowego oraz stosowne metody numeryczne. Bardziej skomplikowane fizycznie modele prowadzą do wielu otwartych problemów. Częsciowe wyniki prowadzonych prac przedstawiono w referacie wygłoszonym w ramach seminarium krakowskiego oddziału Polskiego Towarzystwa Matematycznego.

The SFS (shape from shading) problem: given the photo of an unknown surface one should derive an equation of surface such that its photo is the same. There are many different mathematical tools for modelling ... więcej

The SFS (shape from shading) problem: given the photo of an unknown surface one should derive an equation of surface such that its photo is the same. There are many different mathematical tools for modelling of this problem. In the work two of them were studied: fuzzy differential equations and viscosity solutions of partial differential equations. As it follows from research, more robust (and in consequence, appropriate in practice) is the theory of viscosity solutions. In the simple model with orthographic projection and Lambert surface we have the so called ikonal equation, for which existence, uniqueness, and stability of viscosity solution are established. Moreover, there are efficient numerical methods. More complicated models (hence more complicated PDE) are the source of open problems. Partial results of this work were presented in the report given at seminar of Polish Mathematical Society (Cracow department).