Udowodniono: Twierdzenie: Niech R będzie pierścieniem artinowskim lewostronnym. Wtedy każde jego niezerowe różniczkowanie wewnętrzne jest koskończone wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z warunków: ... więcej

Udowodniono: Twierdzenie: Niech R będzie pierścieniem artinowskim lewostronnym. Wtedy każde jego niezerowe różniczkowanie wewnętrzne jest koskończone wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z warunków: (1) R jest skończony, (2) R jest przemienny, (3) R=F[+]D jest sumą prostą skończonego pierścienia przemiennego F i ciała D z koskończonymi niezerowymi różniczkowaniami wewnętrznymi. Pierścień jest nazywany półpierwotnym, jeśli nie zawiera niezerowych ideałów nilpotentnych. Pierścień z elementem jednostkowym jest nazywany residualnie skończonym, jeśli każdy go niezerowy ideał ma skończony indeks. Twierdzenie: Niech R będzie pierścieniem półpierwotnym. Wtedy każde jego niezerowe różniczkowanie wewnętrzne jest koskończone wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z warunków: (4) R jest skończony, (5) R jest przemienny, (6) R=F[+]D jest sumą prostą skończonego półpierwotnego pierścienia przemiennego F i residualnie skończonej dziedziny generowanej przez wszystkie komutatory xa-ax, gdzie a,x są elementami z D.

We prowe the following: Theorem: Let R be a left Artinian ring. Then every non-zero inner derivation is cofinite if and only if one of the following holds: (1) R is finite, (2) R is commutative, (3) R=F[+]D ... więcej

We prowe the following: Theorem: Let R be a left Artinian ring. Then every non-zero inner derivation is cofinite if and only if one of the following holds: (1) R is finite, (2) R is commutative, (3) R=F[+]D is a ring direct sum of finite commutative ring F and skew field D with cofinite non-zero inner derivations. wewnętrznymi. Theorem: Ler R be a semiprime ring. Then every non-zero inner derivation is cofinite if and only if one of the following holds: (4) R s finite, (5) R is commutative, (6) R=F[+]D is a ring direct sum of semisimple commutative ring F and residually finite domain generated by all commutators xa-ax, where a,x are elements from D.