Do najsłynniejszych hipotez dotyczących różniczkowań w algebrach Banacha należą następujące: (C1) ideał separujący dowolnego różniczkowania algebry Banacha jest nilpotentny, (C2) każde różniczkowanie ... więcej

Do najsłynniejszych hipotez dotyczących różniczkowań w algebrach Banacha należą następujące: (C1) ideał separujący dowolnego różniczkowania algebry Banacha jest nilpotentny, (C2) każde różniczkowanie półpierwszej algebry Banacha jest ciągłe, (C3) każde różniczkowanie pierwszej algebry Banacha jest ciągłe, (C4) każdy ideał prymitywny algebry Banacha jest niezmienniczy względem jej dowolnego różniczkowania. Hipotezy (C1), (C2), (C3) są nadal otwarte, nawet w przypadku algebr przemiennych. Hipoteza (C4) jest nazywana niekomutatywną hipotezą Singera-Wermera. W przypadku algebr przemiennych hipoteza (C4) jest prawdziwa. Celem pracy jest przedstawienie pewnych uwag dotyczących związków pomiędzy tymi czterema hipotezami. Głównym wynikiem jest opracowanie kompletnego i samowystarczalnego dowodu równoważności hipotez (C1), (C2) i (C3) w przypadku przemiennym, opartego na wynikach rozproszonych w kilku artykułach.

Consider the following famous conjectures about derivations on Banach algebras: (C1) every derivation on a Banach algebra has a nilpotent separating ideal, (C2) every derivation on a semiprime Banach algebra ... więcej

Consider the following famous conjectures about derivations on Banach algebras: (C1) every derivation on a Banach algebra has a nilpotent separating ideal, (C2) every derivation on a semiprime Banach algebra is continuous, (C3) every derivation on a prime Banach algebra is continuous, (C4) every derivation on a Banach algebra leaves each primitive ideal invariant. Conjectures (C1), (C2) and (C3) are still open, even in the case of commutative Banach algebras. Assertion (C4) is usually referred to as the noncommutative Singer-Wermer conjecture. It is true in the commutative case. We will present some remarks about relations between these conjectures. The main result of the paper is presenting a complete and self-contained proof of the equivalency of (C1), (C2), (C3) in the commutative case, based on partial results available in the literature.